Integral ociosa

Hace poco me preguntaron: ¿Cuál es la integral siguiente?:

\int{\frac{ t^{3}}{ \sqrt{ (a^4 + t^4)}},{dt}}

Y bueno… Después de pensar un rato… Mi solución fue esta:

Tomando a v=t^{4} y {dv}=4t^{3}{dt} por lo que \frac{dv}{4}=t^{3}{dt} tenemos entonces sustituyendo \int{\frac{ dv}{4 \sqrt{ (a^4 + v)}}}.

Si sacamos \frac{1}{2} nos queda entonces \frac{1}{2}\int{\frac{ dv}{2 \sqrt{ (a^4 + v)}}}.

Sabiendo que \frac{d}{dx}\sqrt{x}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.

Por lo que concluimos que \frac{1}{2}\int{\frac{ dv}{2 \sqrt{ (a^4 + v)}}}=\frac{1}{2}\sqrt{a^4+v}.

Y eso evidentemente es volviendo a sustituir \frac{1}{2}\sqrt{a^4+v}=\frac{ \sqrt{a^4+t^4}}{2}

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